Topologie produit - Math'φsics

Topologie produit

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Topologie produit
Topologie sur \(X=\prod_{i}X_i\).
- très importante car c'est la seule topologie séparée en dimension finie qui rend les opérations d'Espace vectoriel
  continues
- conséquence : équivalence de normes, Continuité des Application linéaires en dimension finie, ...
- est générée par \(\prod_{i\in I}U_i\), avec \(U_i\in\mathcal U_i\) pour tout \(i\), et \(U_i=X_i\), sauf pour un nombre fini d'entres \(i\in I\)
- ces ouverts sont appelés ouverts élémentaires
- cas particulier : si \((X_i,\mathcal U_i)=(X,\mathcal U)\) pour tout \(i\), alors \(\prod_{i\in I}X=X^I\) : c'est l'ensemble des fonctions de \(I\) dans \(X\)
- correspond à la Convergence simple
- sur un famille dénombrable d'Espace métriques, la topologie produit est donnée par la distance : $$d:((x_n)_{n\in\Bbb N},(y_n)_{n\in\Bbb N})\longmapsto\max_{n\in{\Bbb N}}\min(2^{-n},d_n(x_n,y_n))$$
Questions de cours

Montrer que pour une famille dénombrable d'espaces métriques, la topologie produit est donnée par la distance : $$d:((x_n)_{n\in\Bbb N},(y_n)_{n\in\Bbb N})\longmapsto\max_{n\in{\Bbb N}}\min(2^{-n},d_n(x_n,y_n))$$

On procède par caractérisation séquentielle en montrant qu'on a la même Base de voisinages pour les deux topologies : en effet, les boules pour \(d\) peuvent être exprimées comme des ouverts élémentaires.

Démontrer l'équivalence des normes en dimension finie :

On peut se restreindre à \({\Bbb R}^d\) et à la norme infinie.

La majoration de la norme par la norme infinie vient en majorant les \(\lvert x_i\rvert\) par leur maximum.

On en déduit que la norme est \(C\)-lipschitzienne pour la norme infinie via la deuxième inégalité triangulaire.

La norme minimale pour une norme infinie de \(1\) est bien définie par compacité, et est non nulle.

On peut donc utiliser cette valeur pour la minoration.

Exercices

Montrer que l'ensemble des ouverts élémentaires forme une base de \(E=\prod_{i\in I}E_i\).

Il suffit de vérifier la stabilité par intersection finie (2 éléments suffisent par récurrence).

Montrer que les applications projections \(p_i:E\to E_i\) sont continues pour la topologie produit.

L'image réciproque d'un ouvert est un ouvert élémentaire (puisque chaque élément du produit sauf un est égal au \(E_j\)), donc ok par caractérisation.

Montrer que les applications projections sont des applications ouvertes pour la topologie produit.

En tout point \(x\) d'un ouvert \(U\), passer par l'ouvert élémentaire qui contient ce point.

En notant \(J\) l'ensemble des dimensions pour lesquelles la projection de l'ouvert élémentaire n'est pas l'espace entier, on peut écrire le voisinage comme intersection de projections réciproques.

Les composantes du voisinage sont donc la projection de cette intersection, qui est comprise dans la projection de \(U\). \(p_i(U)\) est donc voisinage de chacun de ses points, et donc ouvert.

Soit \(X\) un espace topologique et \(f:X\to E\).
Montrer que \(f\) est continue pour la topologie produit si et seulement si \(p_i\circ f\) est continue pour tout \(i\).

\(\implies\) : Trivial puisque les projections sont continues pour la topologie produit.

\(\impliedby\) : On va passer par les ouverts élémentaires.

L'image réciproque d'un ouvert élémentaire par \(f\) peut-être écrite comme une intersection finie d'ouverts (par hypothèse, en utilisant les projections), donc est ouvert, donc \(f\) est continue par caractérisation.

Montrer que la topologie produit sur \({\Bbb R}^{\Bbb R}\) est en fait celle associée à la Convergence simple.

\(\impliedby\) : On pose une suite de fonctions qui converge simplement et on lui associe un voisinage et un ouvert élémentaire qui la contient.

En utilisant la convergence simple, on montre que les composantes de l'ouvert élémentaire qui ne sont pas \({\Bbb R}\) finissent par contenir \(f_n(x)\) au bout d'un certain rang, ce qui fait que \(f\in U\) et qu'on a la convergence pour la topologie produit.

\(\implies\) : Pour \(x\in{\Bbb R}\), on pose l'ouvert élémentaire composé d'un intervalle de longueur \(2\varepsilon\) autour de \(x\), et de \({\Bbb R}\) pour toutes ses autres composantes. C'est un voisinage ouvert de \(x\).

Par convergence pour la topologie produit, cet \(f_n\) finit par arriver dans ce voisinage, ce qui montre qu'on a la convergence simple.
5i: Les deux topologies ont les mêmes suites convergentes, donc sont égales par caractérisation séquentielle.

Un exemple de topologie non métrisable
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Soit \(E=[0,1]^{[0,1]}\) muni de la topologie produit.
Donner une base d'ouverts de \(E\).
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Soit \(E=[0,1]^{[0,1]}\) muni de la topologie produit.
Que signifie que \((f_n)\) converge vers \(f\) dans \(E\) ?
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END

Soit \(E=[0,1]^{[0,1]}\) muni de la topologie produit.
On appelle fonction simple toute fonction de \([0,1]\) dans \([0,1]\) nulle en dehors d'un nombre fini de points.
Montrer que l'ensemble des fonctions simples est dense dans \(E\).

Prendre un ouvert (supposé élémentaire) et un élément de cet ouvert.

On peut construire une fonction simple qui est égale à \(f\) lorsque la composante de l'ouvert élémentaire n'est pas \([0,1]\), et qui est nulle ailleurs. Elle est alors dans cet ouvert, ce qui prouve la densité.

Soit \(E=[0,1]^{[0,1]}\) muni de la topologie produit.
On appelle fonction simple toute fonction de \([0,1]\) dans \([0,1]\) nulle en dehors d'un nombre fini de points.
Montrer que la fonction constante \(1\) n'est pas limite de fonctions simples.

On suppose que \(1\) est limite de fonction simples, et on note \(A\) l'union des endroits où les \(f_n\) ne sont pas nulles.

Par convergence simple, \(f\) reste nulle sur une trop grosse partie de \([0,1]\), ce qui est absurde.
Rétroliens :